Divisão de polinômios 5n1n6b

Divisão de polinômios é uma das operações básicas no ambiente dos polinômios. Tal operação consiste em encontrar outro polinômio que satisfaça certas condições. 1qs52

Divisão de polinômios possui diferentes métodos de resolução. Vamos apresentar três métodos para essa divisão: o método de Descartes (coeficientes a determinar), o método da chave e o dispositivo prático de Briot-Ruffini. 1w5m10

Leia mais: Equação polinomial: forma e como resolver

Divisão de polinômios 5n1n6b

Ao dividir um polinômio P (x) por um polinômio D (x) não nulo, em que o grau de P é maior que D (P > D), quer dizer que devemos encontrar um polinômio Q (x) e R (x), de modo que:

Note que esse processo é equivalente a escrever:

P (x) → dividendo

D (x) → divisor

Q (x) → quociente

R (x) → resto

Das propriedades da potenciação, temos que o grau do quociente é igual à diferença entre os graus do dividendo e divisor.

Q = P – D

Ainda, quando o resto da divisão entre P (x) e D (x) é igual a zero, dizemos que P (x) é divisível por D (x).

Regras da divisão de polinômios 452h57

  • Método dos coeficientes a determinar — método de Descartes 3u1w71

Para realizar a divisão entre os polinômios P (x) e D (x), com grau de P maior que o grau de D, seguimos os os:

o 1 - Determinar o grau do polinômio quociente Q (x);

o 2 - Tomar o maior grau possível para o resto da divisão R (X) (Lembre-se: R (x) = 0 ou R < D);

o 3 - Escrever os polinômios Q e R com coeficientes literais, de forma que P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).

  • Exemplo 2a1h6b

Sabendo-se que P (x) = 4x3 – x2 + 2 e que D (x) = x2 + 1, determina-se o polinômio quociente e o resto.

O grau do quociente é 1, pois:

Q = P – D

Q = 3 – 2

Q = 1

Assim no polinômio Q (x) = a·x +b, o resto R (x) é um polinômio cujo maior grau pode ser 1, logo: R (x) = c ·x +d. Substituindo os dados na condição do o 3, temos:

Comparando os coeficientes dos polinômios, temos:

Logo, o polinômio Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x + 3.

  • Método da chave 3r3w10

Consiste em realizar a divisão entre polinômios seguindo a mesma ideia da divisão entre dois números, o chamado algoritmo da divisão. Veja o exemplo a seguir.

Novamente vamos considerar os polinômios P (x) = 4x3 – x2 + 2 e D (x) = x2 + 1, e agora vamos dividi-los utilizando o método da chave.

o 1 - Completar o polinômio dividendo com coeficientes nulos, caso necessário.

P (x) = 4x3 – x2 + 0x + 2

o 2 - Dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor e, em seguida, multiplicar o quociente por todo divisor. Veja:

o 3 - Dividir o resto do o 2 pelo quociente e repetir esse processo até que o grau do resto seja menor que o grau do quociente.

Logo, Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x +3.

e também: Adição, subtração e multiplicação de polinômios

  • Dispositivo prático de Briot-Ruffini 364922

Utilizado para dividir polinômios por binômios.

Vamos considerar os polinômios: P (x) = 4x3 + 3 e D (x) = 2x + 1.

Esse método consiste em desenhar dois segmentos, um horizontal e outro vertical, e nesses segmentos colocamos o coeficiente do dividendo e a raiz do polinômio divisor, além disso, repete-se o primeiro coeficiente. Veja:

Perceba que o menor meio é a raiz do divisor e que o primeiro coeficiente foi divido.

Agora, devemos multiplicar a raiz do divisor pelo termo repetido e somá-lo ao próximo, veja:

O último número encontrado no dispositivo prático é o resto, e os demais são os coeficientes do polinômio quociente. Devemos dividir esses números pelo primeiro coeficiente do divisor, nesse caso por 2. Assim:

Para saber mais sobre esse método de divisão de polinômios, e: divisão de polinômios utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.

Exercícios resolvidos sobre divisão de polinômios 6au2m

Questão1 (UFMG) O polinômio P (x) = 3x5 - 3x4 -2x3 + mx2 é divisível por D (x) = 3x2 - 2x. O valor de m é:

Solução

Como o polinômio P é divisível por D, então podemos aplicar o algoritmo da divisão. Assim,

Como foi dado que os polinômios são divisíveis, então o resto é igual a zero. Logo, 


Fonte: Brasil Escola - /matematica/divisao-de-polinomios.htm