A trigonometria no triângulo retângulo é a área da Matemática que analisa a relação existente entre os ângulos de um triângulo e a medida dos seus lados. Ela é fundamental para diversas aplicações práticas, como na Engenharia, na Física, entre outras áreas. Os lados do triângulo retângulo recebem nomes especiais em relação ao ângulo, são eles: hipotenusa, cateto adjacente e cateto oposto.
As principais razões trigonométricas são seno, cosseno e tangente. Essas razões são a divisão entre dois lados do triângulo retângulo. Existem os ângulos notáveis, os que mais aparecem em problemas matemáticos e que medem 30º, 45º e 60º. Aprender o valor do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos notáveis é fundamental para resolver situações envolvendo trigonometria.
Leia também: Teorema de Pitágoras — relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo
Resumo sobre trigonometria no triângulo retângulo
- A trigonometria no triângulo retângulo é a área que analisa a relação entre a medida dos lados e dos ângulos do triângulo.
- Os lados do triângulo retângulo, a depender do ângulo a ser analisado, são conhecidos como hipotenusa, cateto oposto e cateto adjacente.
- As relações trigonométricas são seno, cosseno e tangente.
- Os ângulos notáveis são os ângulos de 30º, 45º e 60º, e os valores do seno, cosseno e tangente desses ângulos são utilizados para facilitar a resolução de situações problemas.
O que é a trigonometria do triângulo retângulo?
A trigonometria do triângulo retângulo é o estudo das relações entre os ângulos e os lados de um triângulo retângulo. Seu principal objetivo é encontrar medidas desconhecidas de lados ou ângulos utilizando razões trigonométricas. No estudo da trigonometria, é possível encontrar uma proporção entre as medidas dos lados e o ângulo do triângulo retângulo. Trata-se das razões trigonométricas, as principais são: o seno, o cosseno e a tangente.
Composição do triângulo retângulo
Os lados do triângulo retângulo recebem nomes especiais, o maior lado é conhecido como hipotenusa, sempre oposta ao ângulo de 90°. Já os outros dois lados são chamados de catetos.
Agora, a depender do ângulo interno que estamos analisando, o cateto pode ser conhecido como cateto adjacente ou cateto oposto. Como o nome sugere, cateto oposto é o cateto que está oposto ao ângulo, já o cateto adjacente é o cateto que, como a hipotenusa, é um lado do ângulo. Veja a seguir:
Cateto oposto e cateto adjacente considerando-se o ângulo α.
Cateto oposto e cateto adjacente considerando-se o ângulo β.
Fórmulas da trigonometria do triângulo retângulo
As principais razões trigonométricas são o seno, o cosseno e a tangente. As fórmulas de cada uma delas são:
- Fórmula do seno:
- Fórmula do cosseno:
- Fórmula da tangente:
Veja também: Quais são as identidades trigonométricas?
Relações trigonométricas do triângulo retângulo
Além das fórmulas da trigonometria, existem as relações trigonométricas. As principais são:
Ângulos notáveis
Os ângulos notáveis — 30°, 45° e 60° — são amplamente utilizados em trigonometria porque têm razões trigonométricas exatas que facilitam cálculos. Os valores do seno do cosseno e da tangente dos ângulos notáveis são normalmente representados pela tabela a seguir:
|
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30º |
45º |
60º |
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sen |
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cos |
|||
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tan |
1 |
→ Videoaula sobre ângulos notáveis
Aplicações da trigonometria no triângulo
Agora que conhecemos as razões trigonométricas e os ângulos notáveis, vamos ver alguns exemplos de aplicação da trigonometria para encontrar valores desconhecidos em um triângulo retângulo.
- Exemplo 1:
Encontre o valor de x no triângulo retângulo a seguir:
Resolução:
Analisando o ângulo conhecido, é possível identificar que x é a hipotenusa desse triângulo e que o lado cuja medida é igual a 5 cm é o cateto oposto ao ângulo.
A razão trigonométrica que relaciona cateto oposto e hipotenusa é o seno, pois sabemos que:
Então temos que:
Consultando a tabela dos ângulos notáveis, sabemos que
Multiplicando cruzado:
x = 10
Então x = 10 cm
- Exemplo 2:
Analisando a imagem a seguir, calcule o valor de x:
Resolução:
Analisando a imagem, é possível identificar que o lado que mede 8 cm corresponde ao cateto adjacente ao ângulo de 45º e que o lado que mede x corresponde à hipotenusa desse triângulo, então a razão trigonométrica que relaciona cateto adjacente e hipotenusa é o cosseno.
Ao consultar a tabela dos ângulos notáveis, temos que:
Logo, temos que:
Racionalizando:
- Exemplo 3:
Analisando o triângulo a seguir, calcule o valor de x:
Resolução:
Analisando a imagem, é possível identificar que o lado que mede 6 cm corresponde ao cateto adjacente ao ângulo de 60º e que o lado que mede x corresponde ao cateto oposto desse triângulo, então a razão trigonométrica que relaciona cateto adjacente e cateto oposto é a tangente.
Consultando a tabela dos ângulos notáveis,
Racionalizando:
Saiba mais: Como é feita a classificação dos triângulos
Exercícios resolvidos sobre trigonometria do triângulo retângulo
Heitor quer instalar uma escada para ar o telhado de sua casa. A escada forma um ângulo de 60° com o chão e seu comprimento é de 5 metros. Qual a altura aproximada do telhado, considerando que a escada toca a parede no ponto mais alto? (use √3 = 1,7)
A) 2,50 m
B) 4,25 m
C) 3,80 m
D) 5,00 m
E) 6,35 m
Resolução:
Alternativa B
A escada representa a hipotenusa do triângulo retângulo, e a altura do telhado é o cateto oposto ao ângulo de 60°. Utilizamos a relação:
Sabemos que
Questão 2
Uma árvore projetou uma sombra de 12 metros no chão. Se o ângulo de elevação do Sol em relação ao topo da árvore é de 30°, qual é a altura aproximada da árvore? (use √3 = 1,7)
A) 3,5 m
B) 6,8 m
C) 12,2 m
D) 18,0 m
E) 24,6 m
Resolução:
Alternativa B
Neste caso, a árvore representa o cateto oposto e a sombra é o cateto adjacente. Usamos a tangente:
Consultando a tabela, sabemos que:
Logo:
Questão 3
Um engenheiro precisa medir a altura de um poste. Ele se posiciona a 8 metros da base do poste e mede um ângulo de elevação de 45° até o topo. Qual é a altura do poste?
A) 4 m
B) 6 m
C) 8 m
D) 10 m
E) 12 m
Resolução:
Alternativa C
A relação trigonométrica que utilizamos aqui é a tangente, pois temos o cateto oposto, que é a altura do poste, e o cateto adjacente, que é a distância do engenheiro até a base do poste.
Ao consultar a tabela, temos que tan 45° = 1, logo:
Fontes
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 1. ed. São Paulo: Ática, 2005. 3 v.
MORGADO, Augusto César de Oliveira. Trigonometria e Números Complexos. 1. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1999.
