Frações algébricas são expressões que possuem pelo menos uma incógnita no denominador. Incógnitas são números desconhecidos representados, geralmente, por letras. Dessa maneira, é possível definir as operações básicas matemáticas também para as frações algébricas.
A técnica usada para somar e subtrair frações algébricas é exatamente a mesma usada para frações numéricas, inclusive dividida em dois casos. A diferença está nos artifícios matemáticos usados para possibilitar os cálculos, como fatoração de polinômios ou propriedades de potências.
Caso 1: Frações algébricas com denominadores iguais
Quando as frações algébricas possuem denominadores iguais, elas podem ser somadas ou subtraídas diretamente, bastando repetir o denominador em comum e realizar a operação apenas com os numeradores. Observe o exemplo a seguir:
16xk2 – 10xk2 = 16xk2 – 10xk2 = 6xk2
y y y y
Independentemente da forma que tenham as frações algébricas ou de os numeradores serem termos semelhantes, basta manter o denominador e operar os numeradores com as regras de sinais da adição.
Caso 2: Frações algébricas com denominadores diferentes
Quando as frações algébricas a serem somadas ou subtraídas possuem denominadores diferentes, é necessário encontrar frações equivalentes a elas que possuam denominadores iguais para depois somá-las. O procedimento para encontrar essas frações é o mesmo usado na adição de frações numéricas: calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores, encontrar as frações equivalentes e depois realizar a adição/subtração de frações com denominadores iguais. Observe o exemplo de adição a seguir:
a + b + 4a2 – a – b
a – b a2 – b2 a + b
Mínimo múltiplo comum dos denominadores
Calcular o MMC de números inteiros não é tarefa desafiadora. Entretanto, o mínimo entre polinômios requer bastante prática.
Em resumo, é preciso fatorar os polinômios dos denominadores e depois multiplicar todos os fatores que possuem mesma base com maior expoente sem repetições.
Sendo assim, os denominadores do exemplo acima são: a – b, (a – b)(a + b), que é a forma fatorada de a2 – b2, e a + b. O MMC entre esses denominadores é (a – b)(a + b), que é justamente o produto dos fatores de mesma base com maior expoente sem repetições. Feito isso, reescreva as frações do exemplo usando o novo denominador comum e deixando os espaços para encontrar os numeradores equivalentes.
a + b + 4a2 – a – b = + –
a – b a2 – b2 a + b (a – b)(a + b) (a – b)(a + b) (a – b)(a + b)
Encontrar as frações equivalentes
Para encontrar o numerador da primeira fração equivalente, divida o MMC encontrado pelo denominador da primeira fração dada e depois multiplique o resultado pelo seu numerador. O resultado disso será o numerador da primeira fração equivalente. Para as outras, repita o processo usando as respectivas frações.
Assim, o numerador da primeira fração equivalente é o resultado de (a – b)(a + b) dividido por a – b e multiplicado por a + b. Isso resulta em (a + b)2. Continuando os cálculos para as demais frações e colocando os resultados em seus respectivos numeradores, temos:
a + b + 4a2 – a – b = (a + b)2 + 4a2 – (a – b)2
a – b a2 – b2 a + b (a – b)(a + b) (a – b)(a + b) (a – b)(a + b)
Realizar a adição/subtração
Nessa última etapa, realizam-se as operações propostas efetivamente. Observe:
(a + b)2 + 4a2 – (a – b)2 =
(a – b)(a + b) (a – b)(a + b) (a – b)(a + b)
(a + b)2 + 4a2 – (a – b)2 =
(a – b)(a + b)
a2 + 2ab + b2 + 4a2 – a2 + 2ab – b2 =
(a – b)(a + b)
2ab + 4a2 + 2ab =
(a – b)(a + b)
4a2 + 4ab =
(a – b)(a + b)
Também é nesse o que o resultado é simplificado por meio de fatoração de polinômios e, às vezes, propriedades de potências.
4a2 + 4ab =
(a – b)(a + b)
4a(a + b) =
(a – b)(a + b)
4a
a – b
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
