Ao comparar figuras geométricas existem algumas conclusões possíveis: As figuras são congruentes, ou seja, seus lados e ângulos possuem as medidas iguais; as figuras são diferentes ou as figuras são semelhantes, isto é, possuem ângulos correspondentes com medidas iguais e lados correspondentes com medidas proporcionais.
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Um matemático chamado Tales de Mileto observou que existe proporcionalidade entre os segmentos de reta formados por um feixe de retas paralelas cortadas por retas transversais. Observe a imagem seguinte:
A proporcionalidade válida observada por Tales é a das igualdades:
MN = PQ = NO
MO PR QR
Essa importante descoberta logo foi observada nos triângulos. Quando um triângulo ABC é intersectado em dois de seus lados, AB e AC, por uma reta r e essa reta é paralela ao lado restante, BC, do triângulo, então valem essas mesmas proporcionalidades, uma vez que o vértice A desse triângulo pode ser visto como ponto pertencente a uma reta também paralela a r. Observe:
Nesse triângulo, valem as seguintes proporcionalidades:
AE = AF = EB
AB AC FC
Uma vez observadas essas proporcionalidades, e considerando os triângulos AEF e ABC como triângulos distintos, basta observar que o ângulo interno do vértice A é comum aos dois triângulos para afirmar que eles são semelhantes, pelo caso de semelhança Lado – ângulo – lado (LAL). Mais especificamente:
-
O Ângulo interno do vértice A é comum aos dois triângulos, por isso é igual na comparação entre os dois.
-
Os lados AE e AF pertencentes ao triângulo AEF são proporcionais aos lados AC e AB pertencentes ao triângulo ABC.
Portanto, pelo caso LAL de semelhança de triângulos, os triângulos são semelhantes.
Em resumo, tendo um triângulo qualquer como base, pode-se chegar à seguinte propriedade: Em um triângulo ABC, uma reta r intersecta os lados AB e AC nos pontos E e F de forma que a reta r é paralela ao lado BC, Então os triângulos ABC e AEF são semelhantes.
Essa propriedade ficou conhecida como o teorema fundamental da semelhança.
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
