Condição de alinhamento de três pontos

A condição de alinhamento de três pontos auxilia a verificar se os três pontos pertencem ou não a mesma reta. Para isso, utiliza-se o determinante das coordenadas dos pontos.

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A condição de alinhamento de três pontos é o método que utilizamos para verificar se três pontos são colineares ou não colineares. Dizemos que os pontos são colineares se eles estão alinhados, ou seja, se existe uma reta que a por esses três pontos, eles são colineares.

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Leia também: O que é distância entre dois pontos?

Tópicos deste artigo

O que são pontos colineares e pontos não colineares?

→ Pontos colineares

Ao representar três pontos no plano cartesiano, conhecemos como pontos colineares os que estão alinhados, ou seja, são três pontos que pertencem a uma mesma reta.

Ilustração de um plano cartesiano com a indicação de três pontos colineares.
Os pontos F, G e H são colineares.

→ Pontos não colineares 

Ao representar três pontos no plano cartesiano, quando não existe uma reta que os contém, dizemos que eles são não colineares.

Ilustração de um plano cartesiano com a indicação de três pontos não colineares.
Os pontos F, G e H não são colineares.

Como saber se três pontos são colineares?

Para sabermos se os três pontos estão ou não alinhados, verificamos se eles satisfazem a condição de alinhamento de três pontos. Para saber se os três pontos são colineares, primeiro construímos a matriz em que os elementos da primeira e segunda coluna são as coordenadas x e y de cada ponto, e a última coluna possui termos igual a 1. Dados três pontos de coordenadas P1x1,y1, P2x2,y2 e P3x3,y3, se esses três pontos estão alinhados, eles serão colineares se:

\(det(A)=\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{matrix}\right|=0\ \)

Caso o determinante det(A) seja diferente de 0, então esses pontos são ditos não colineares.

Exemplo 1

Verifique se os pontos A(3, 2), B(4, 4) e C(5, 6) são colineares.

Resolução

Para verificar se esses pontos são colineares, primeiro montaremos o determinante da matriz, substituindo cada linha pela abcissa e a ordenada de cada ponto:

\(det(A)=\left|\begin{matrix}3&2&1\\4&4&1\\5&6&1\\\end{matrix}\right|\ \) 

Calculando o det(A), temos que:

\(det\left(A\right)=3\cdot4\cdot1+2\cdot1\cdot5+1\cdot4\cdot6-1\cdot4\cdot5-3\cdot1\cdot6-2\cdot4\ \cdot1\)

\(det\left(A\right)=12+10+24-20-18-8\)

\(det\left(A\right)=46-46\)

\(det\left(A\right)=0\)

Como det(A) = 0, então os pontos A, B e C são colineares.

Exemplo 2

Verifique se os pontos D(1, 4), E(2, 1) e F(5, 5) estão alinhados.

Resolução

Montando o determinante, temos que:

\(det(A)=\left|\begin{matrix}1&4&1\\2&1&1\\5&5&1\\\end{matrix}\right|\ \) 

Calculando o determinante:

\(det\left(A\right)=1\cdot1\cdot1+4\cdot1\cdot5+1\cdot2\cdot5-1\cdot1\cdot5-1\cdot1\cdot5-4\cdot2\cdot1\)

\(det\left(A\right)=1+20+10-5-5-8\)

\(det\left(A\right)=31-18\)

\(det(A)=13\)

Podemos afirmar que os pontos D, E e F não são colineares.

Veja também: Condição de concorrência de duas retas — qual é?

Exercícios resolvidos sobre condição de alinhamento de três pontos

Questão 1

Os pontos A(1, 2), B(3, 8) e C(t, 0) são colineares. Nessas condições, podemos afirmar que o valor de t é:

A) 1/2

B) 1/3

C) 5/3

D) 7/2

E) 2/5

Resolução:

Alternativa B

Montando o determinante, temos que:

\(det(A)=\left|\begin{matrix}1&2&1\\3&8&1\\t&0&1\\\end{matrix}\right|\ \) 

Calculando o determinante:

\(det\left(A\right)=1\cdot8\cdot1+2\cdot1\cdot t+1\cdot3\cdot0-1\cdot8\cdot t-1\cdot1\cdot0-2\cdot3\cdot1\)

\(det\left(A\right)=8+2t+0-8t-0-6\)

\(det\left(A\right)=-6t+2\)

Sabemos que det(A) = 0, logo, temos que:

\(-6t+2=0\)

\(-6t=-\ 2\)

\(t=\frac{2}{6}\)

Simplificando a fração, temos que:

\(t=\frac{1}{3}\)

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Questão 2

Sobre a condição de alinhamentos de três pontos, podemos afirmar que:

I. Três pontos são sempre colineares.

II. Três pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta.

III. Se os pontos \(P_1\left(x_1,y_1\right),\ P_2\left(x_2,y_2\right)\ e\ P_3\left(x_3,y_3\right)\) são colineares, então:

\(\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{matrix}\right|\neq0\ \)

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Todas as afirmativas são verdadeiras.

E) Somente a afirmativa I é falsa.

Resolução:

Alternativa B

I. Três pontos são sempre colineares. (Falso)

Nem sempre os pontos são colineares.

II. Três pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta. (Verdadeiro)

III. Se os pontos \(P_1\left(x_1,y_1\right),\ P_2\left(x_2,y_2\right)\ e\ P_3\left(x_3,y_3\right)\) são colineares, então: \(\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{matrix}\right|\neq0\) (Falso)

Para que os pontos sejam colineares, é necessário que o determinante seja igual a zero, e não diferente de zero.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Ilustração de um plano cartesiano com indicação de 10 pontos, de A a J.
Dados três pontos no plano cartesiano, eles podem estar alinhados ou não. A condição de alinhamento de três pontos é o modo de verificar isso.
Escritor do artigo
Escrito por: Raul Rodrigues de Oliveira Graduado em Matemática pela Universidade Federal de Goiás. Atua como professor do programa PIC Jr. (OBMEP) e como professor preceptor do programa Residência Pedagógica. Também é professor concursado da Seduc-GO, gestor escolar e produtor de conteúdo didático.
Deseja fazer uma citação?
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Condição de alinhamento de três pontos"; Brasil Escola. Disponível em: /matematica/condicao-alinhamento-tres-pontos-2.htm. o em 28 de maio de 2025.
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Lista de exercícios


Exercício 1

Verifique se os pontos A(0, 4), B(–6, 2) e C(8, 10) estão alinhados.

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Exercício 2

Determine o valor de y de maneira que os pontos P(1, 3), Q(3, 4) e R(y, 2) sejam os vértices de um triângulo qualquer.

VER TODAS AS QUESTÕES
Exercício 3

(PUC-MG) Calcule o valor de t sabendo que os pontos A(1/2, t), B(2/3, 0) e C(–1, 6) são colineares.

VER TODAS AS QUESTÕES
Exercício 4

(UFMG) Determine o valor de m para que os pontos A(2m+1, 2), B(–6, –5) e C(0, 1) sejam colineares.

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