Volume do prisma 193j31

O volume do prisma é resultado do produto entre a área da base do prisma e a altura. O prisma é um sólido geométrico que tem a duas bases formadas por polígonos congruentes entre si, e as faces laterais são paralelogramos. Como a base do prisma pode ser qualquer polígono, existem diferentes prismas, são eles: prisma de base triangular, prisma de base quadrangular, prisma de base pentagonal, prisma de base hexagonal. O princípio de Cavalieri permite realizar comparações entre volumes de sólidos geométricos que têm mesma altura e secções transversais equivalentes. qy4u

Leia também: Como calcular a área do prisma

Resumo sobre volume do prisma 1j646f

• Para calcular o volume do prisma, basta encontrar a área da base e multiplicar pela altura.
• A fórmula do volume de um prisma é: \(V=A_b\cdot h\)
• O prisma é um sólido geométrico com duas bases paralelas e congruentes.
• A base do prisma pode ter diferentes formatos: triângulo, quadrado, retângulo, pentágono, hexágono, entre outros.
• O primeiro o para calcular o volume do prisma é identificar a forma da sua base.
• O princípio de Cavalieri permite comparar volumes de sólidos com a mesma altura e secções transversais equivalentes.

Videoaula sobre volume do prisma 6e681o

Fórmula do volume do prisma 4m1a14

Para calcular o volume de um prisma qualquer, a fórmula é:

\(V=A_b\cdot h\)

• V: volume
• A_b: área da base
• h: altura do prisma

A altura do prisma é igual à distância entre as bases do prisma.

Como calcular o volume do prisma? 4k4x4x

Para calcular o volume do prisma, sabemos que é necessário calcular a área da base, que depende do polígono que forma essa base, então: o primeiro o é identificar a forma da base do prisma, posteriormente calculamos a área da base, e, por fim, multiplicamos pelo valor da altura.

→ Prisma triangular 4n5v1e

Quando a base do prisma é um triângulo qualquer, utilizamos a fórmula da área do triângulo para calcular a área da base:

\(A_{\text{triângulo}} = \frac{b\cdot h}{2}\)

Um caso particular é quando a base do prisma é um triângulo equilátero, pois a fórmula para calcular a área de um triângulo equilátero é:

\(A_{\text{triângulo equilátero}} = \frac{l^2\sqrt3}{4}\)

• Exemplo:

Calcule o volume do prisma a seguir, sabendo que a sua base é um triângulo retângulo cuja medida dos catetos está indicada na imagem:

Resolução:

Sabemos que a base é um triângulo, então calculando a área da base, temos que:

\(A_b = \frac{b\cdot h}{2}\\ A_b = \frac{4\cdot 3}{2}\\ A_b = \frac{12}{2}\\ A_b = 6\)

Sabendo que a área da base mede 6 cm², então o volume do prisma será:

\(V=A_b\cdot h\\ V= 6\cdot 10\\ V= 60\)

Então o volume desse prisma é 60 cm³.

• Exemplo 2:

Um prisma tem base formada por um triângulo equilátero de lados medindo 4 cm. Se sua altura mede 15 cm, então o volume desse prisma é igual a:

Resolução:

Como a base é um triângulo equilátero, então a área da base será:

\(A_b=\frac{l^2\sqrt3}{4}\\ A_b=\frac{4^2\sqrt3}{4}\\ A_b=\frac{16\sqrt3}{4}\\ A_b={4\sqrt3}\)

Agora calculando o volume, temos que:

\(V=A_b\cdot h\\ V= 4\sqrt3 \cdot 15\\ V= 60\sqrt3\ cm^3\)

→ Prisma de base quadrangular 4mt4g

Quando a base do prisma é um quadrilátero, ele é conhecido como prisma de base quadrangular. Nesse caso, a área da base do prisma é igual ao produto entre a base e a altura.

• Exemplo:

Calcule o volume do prisma a seguir:

Resolução:

Calculando primeiro a área da base, temos que:

\(A_b=6\cdot 4=24 \)

Agora calculando o volume:

\(V=A_b\cdot h = 24\cdot 8 = 192\ cm^3\)

Então o volume do prisma é 192 cm³.

→ Prisma de base pentagonal e215s

Para o prisma de base pentagonal, quando a sua base é um pentágono regular, a área da base pode ser calculada pela fórmula:

\(A_b = \frac{5 \cdot l \cdot a}{2}\)

• l: é a medida do lado do pentágono.
• a: é a medida do apótema do pentágono.

• Exemplo:

Considere um prisma pentagonal, com base de pentágono regular de 6 cm de lado e 7 cm de apótema, e com 10 cm de altura, então seu volume será de:

Resolução:

Calculando a área da base, temos que:

\(A_b = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{2} \\ A_b = \frac{30 \cdot 7}{2} \\ A_b = \frac{210}{2} \\ A_b = 105 \\ \)

Então calculando o volume:

\(V = A_b \cdot h \\ V = 105 \cdot 10 \\ V = 1050\ \text{cm}^3 \\ \)

→ Prisma de base hexagonal 643c57

Para o prisma de base hexagonal, quando a sua base é um hexágono regular, a área da base pode ser calculada pela fórmula:

\(A_b = \frac{3l^2 \sqrt{3}}{2} \\ \)

• l: lado da base do hexágono.

• Exemplo:

Um prisma de base hexagonal tem lado base medindo 4 cm e altura medindo 8 cm, então a medida do seu volume é de:

Resolução:

Calculando a área da base:

\(A_b = \frac{3 \cdot 4^2 \sqrt{3}}{2} \\ A_b = \frac{3 \cdot 16 \sqrt{3}}{2} \\ A_b = \frac{48 \sqrt{3}}{2} \\ A_b = 24 \sqrt{3} \\ \)

Por fim, calculando o volume:

\(V = A_b \cdot h \\ V = 24 \sqrt{3} \cdot 8 \\ V = 192 \sqrt{3}\ \text{cm}^3 \\ \)

Veja também: O que é um paralelogramo?

O que é um prisma? 6l2h6h

O prisma é um sólido geométrico que tem duas faces paralelas congruentes formadas por um polígono e faces laterais formadas por paralelogramos. Existem diferentes tipos de prisma, e o seu nome é determinado de acordo com o polígono que forma a sua fase, por exemplo: prisma de base triangular, prisma de base quadrangular, prisma de base pentagonal, e prisma de base hexagonal.

Princípio de Cavalieri 13594j

Princípio de Cavalieri foi criado com o objetivo de facilitar a compreensão e a determinação do volume de sólidos. Antigamente, calcular volumes era uma tarefa bastante complexa. No entanto, com esse princípio, tornou-se possível deduzir fórmulas para diversos sólidos geométricos por meio da comparação com formas mais simples, como prismas e cilindros.

Cavalieri observou que, se dois sólidos têm a mesma altura e todas as suas seções paralelas à base têm áreas iguais em cada nível correspondente, então esses sólidos ocupam o mesmo volume, independentemente de suas formas externas.

Saiba mais: Como calcular o volume de um cilindro?

Exercícios resolvidos sobre volume do prisma 1ht32

Questão 1

(Enem) Uma fábrica comercializa chocolates em uma caixa de madeira, como na figura. 

A caixa de madeira tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões externas, em centímetro, estão indicadas na figura. Sabe-se também que a espessura da madeira, em todas as suas faces, é de 0,5 cm.

Qual é o volume de madeira utilizado, em centímetro cúbico, na construção de uma caixa de madeira como a descrita para embalar os chocolates?

A) 654.

B) 666.

C) 673. 

D) 681. 

E) 693. 

Resolução:

Alternativa C

É necessário calcular a diferença entre o volume interno e o volume externo. Como a caixa é um prisma de base retangular, temos que:

\(V_e = 20 \cdot 8 \cdot 20 = 3200 \\ V_i = 19 \cdot 7 \cdot 19 = 2527 \\ \)

Calculando a diferença:

\(V=3200-2527=673 cm^3\)

Questão 2

Kárita trabalha em uma fábrica de velas artesanais. Ela recebeu um pedido especial para produzir uma vela em formato de prisma hexagonal regular. O molde da vela tem base hexagonal regular com 6 cm de lado e 10 cm de altura. (\(\text{Use} \ \sqrt 3=1,73 \))

A) 519,6 cm³

B) 648,0 cm³

C) 720,5 cm³

D) 820,0 cm³

E) 934,2 cm³

Resolução:

Alternativa E

Calculando a área da base:

\(A_b = \frac{3 \cdot 6^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36 \sqrt{3}}{2} \\ A_b = 54 \sqrt{3} \\ A_b = 54 \cdot 1{,}73 \\ A_b = 93{,}42\ \text{cm}^2 \\ \)

Então o volume será:

\(V = A_b \cdot h \\ V = 93{,}42 \cdot 10 \\ V = 934{,}2\ \text{cm}^3 \\ \)