Hipérbole (Geometria analítica): o que é, como fazer 6ef1m

A hipérbole é uma cônica, ou seja, é uma das figuras obtidas pela secção de um cone duplo de revolução. A parábola, a circunferência e a elipse são outros tipos de cônicas. 1n6v4d

Considere dois pontos fixos, F₁ e F₂, e um número real positivo a. Todos os pontos P que satisfazem a relação abaixo compõem a hipérbole de focos F₁ e F₂:

\(\left|d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)\right|=2a\)

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Resumo sobre hipérbole 13nl

• A hipérbole é uma cônica, assim como a circunferência, a parábola e a elipse.
• Dados dois pontos, F₁ e F₂, com distância 2c  e um número real positivo a, com a < c , chamamos de hipérbole o conjunto de pontos P tais que

\(\left|d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)\right|=2a\)

• O ponto médio entre os focos F₁ e F₂ é chamado de centro da hipérbole.
• Se os focos F₁ e F₂ estão sobre o eixo horizontal, então a equação da hipérbole é

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

• Se os focos F₁ e F₂ estão sobre o eixo vertical, então a equação da hipérbole é

\(-\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

O que é hipérbole? 6m26l

Considere F₁ e F₂ pontos fixos de distância 2c e a  um número real positivo tal que a < c . A hipérbole é o conjunto de pontos P tais que a diferença em módulo das distâncias até F₁ e F₂ seja igual a 2a. Em notação matemática, escrevemos que os pontos P da hipérbole são tais que

\(\left|d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)\right|=2a\)

em que \(d\left(P,F_1\right)\) é a distância entre P e F₁ e =\(d\left(P,F_2\right)\) é a distância entre P e F₂.

Perceba que a hipérbole é formada por dois “pedaços”, chamados de ramos. Um dos ramos contém os pontos P cuja distância aos focos é positiva, ou seja, \(d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)=2a\). O outro ramo possui os pontos P cuja distância aos focos é negativa, ou seja, \(d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)=-\ 2a\).

Elementos da hipérbole 5z301k

Para compreender a hipérbole, é fundamental conhecer os elementos que a compõem.

• F₁ e F₂ são os focos da hipérbole.
• A₁ e A₂ são os vértices da hipérbole.
• O é o centro da hipérbole e é ponto médio do segmento F₁F₂.
• O segmento F₁F₂ é o segmento focal, e seu tamanho, de medida 2c, é chamado de distância focal. Assim, \(OF_1=OF_2=c\) .
• O segmento A₁A₂ é o eixo real e possui tamanho de medida 2a. Assim, \( OA_1=OA_2=a\).
• Os pontos B₁ e B₂ são tais que \(B_1A_1=B_1A_2=B_2A_1=B_2A_2=c\).
• O segmento B₁B₂ é o eixo imaginário (ou conjugado) e possui tamanho de medida 2b. Assim, \(OB_1=OB_2=b\).
• As retas pontilhadas são assíntotas à hipérbole.

Observação 1: Os segmentos com medida a, b e c podem ser relacionados pelo teorema de Pitágoras. Perceba que o triângulo \(B_1OA_2\) é retângulo em O com \(OB_1=b\), \(OA_2=a\) e \(B_1A_2=c\) . Assim, \(c^2=a^2+b^2\).

Observação 2: Note que na imagem trabalhada nesse tópico, os focos estão sobre o eixo horizontal e na imagem do tópico anterior os focos estão sobre o eixo vertical. Estes são alguns exemplos do formato de uma hipérbole, mas os focos podem ser pontos do plano cartesiano que não pertencem aos eixos x e y.

Leia também: Parábola — tipo de cônica que representa uma função do 2º grau

Qual a fórmula da hipérbole? 1t248

A fórmula da hipérbole é uma expressão que descreve os pontos \(P=\left(x,y\right) \) da hipérbole. Essa expressão é chamada de equação da hipérbole e depende da localização dos focos.

Por uma questão de simplicidade, vamos conhecer as equações (reduzidas) da hipérbole para focos sobre o eixo vertical e horizontal.

• Caso 1: focos F1 e F2 sobre o eixo horizontal (eixo do x) 41733e

Nessas condições, a equação reduzida da hipérbole é

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

• Caso 2: focos F1 e F2 sobre o eixo vertical (eixo do y) 46f49

Nessas condições, a equação reduzida da hipérbole é

\(-\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

Como fazer uma hipérbole? 3s6hx

Geometricamente, a hipérbole é obtida pela secção de um cone duplo de revolução de forma paralela ao eixo.

Para que serve a hipérbole na Matemática? 1w1835

Uma das aplicações da hipérbole é o uso de sua propriedade refletora em espelhos hiperbólicos de telescópios ópticos e radiotelescópios. 

Outras aplicações se relacionam com o hiperboloide. O hiperboloide é uma superfície gerada pela revolução de uma hipérbole. O hiperboloide é utilizado na construção de pequenos objetos, monumentos e instalações industriais.

Exercícios resolvidos sobre hipérbole 4w41n

Questão 1

Considere \(F_1=\left(-2,0\right)\) e \(F_2=\left(2,0\right) \) os focos de uma hipérbole com eixo real de medida 2. A equação reduzida dessa hipérbole é

a) \( \frac{x^2}{2}-y^2=1\)

b) \( \frac{x^2}{3}-y^2=1\)

c) \( x^2-\frac{y^2}{3}=1\)

d) \( x^2-\frac{y^2}{2}=1\)

e) \( x^2-2y^2=1\)

Resolução

Note que 2c = 4  e 2a = 2 . Assim, c = 2  e a = 1 . Como c2=a2+b2 , temos que b=3 . Logo, considerando que os focos estão sobre o eixo horizontal, temos que a equação reduzida dessa hipérbole é

\(x^2-\frac{y^2}{3}=1\)

Alternativa C.

Questão 2

Classifique as informações abaixo em V (verdadeira) ou F (falsa).

I. A hipérbole é uma cônica, assim como a elipse, a circunferência e a parábola.

II. Os focos da hipérbole são pontos que pertencem aos ramos da hipérbole.

III. Considere 2c a distância entre F₁ e F₂ e a  um número positivo menor que c. O conjunto de pontos P tais que \(\left|d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)\right|=2a\) formam a hipérbole de focos F₁ e F₂.

A ordem correta, de cima para baixo, é

a) F-F-F

b) F-V-F

c) F-V-V

d) V-F-V

e) V-V-V

Resolução

A única afirmação falsa é a II, pois os focos da hipérbole (pontos F₁ e F₂) não pertencem aos ramos da hipérbole.

Alternativa D.

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática