Dizemos que um número natural é perfeito se é igual à soma de todos os seus fatores (divisores), excluindo ele próprio. Por exemplo, 6 e 28 são números perfeitos, veja: 6 = 1 + 2 + 3 (fatores de 6: 1, 2, 3 e 6), excluímos o número 6. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (fatores de 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28), excluímos o 28. Os números de Mersenne são aqueles na forma Mn = 2n – 1. Ele chegou a cogitar que essa expressão seria capaz de calcular possíveis números primos considerando n = primos, mas posteriormente ficou comprovado que ele estava quase certo. Por exemplo: M1 = 21 – 1 = 1 M2 = 22 – 1 = 3 → n = 2 (primo), M2 = 3 (primo) M3 = 23 – 1 = 7 → n = 3 (primo), M3 = 7 (primo) M4 = 24 – 1 = 15 M5 = 25 – 1 = 31→ n = 5 (primo), M5 = 31 (primo) M6 = 26 – 1 = 63 M7 = 27 – 1 = 127 → n = 7 (primo), M7 = 127 (primo) M8 = 28 – 1 = 255 M9 = 29 – 1 = 511 M10 = 210 – 1 = 1023 M11 = 211 – 1 = 2047 → n = 11 (primo), M11 = 2047 (não é primo) M13 = 213 – 1 = 8191 → n = 13 (primo), M13 = 8191 (primo) Dentro da sequência dos números primos existem elementos que aplicados na fórmula de Mersenne não geram elementos primos, por exemplo, o número 11, quando aplicado à fórmula resultou em 2047, um número não primo. O conhecimento dos números perfeitos é atribuído a Euclides, famoso matemático grego que fundamentou a Geometria. O método utilizado por ele começa com o 1 adicionando potências de 2 até chegar a um primo. Um número perfeito é então obtido multiplicando a soma pela última potência de 2. Observe a relação existente entre o número perfeito e os números primos de Mersenne. 5l6e6s
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Fonte: Brasil Escola - /matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm